피보나치 수열과 응용 - 수학이 어려운 것이 아니라 교사나 강사가 흥미를 일깨워주지 못했기 때문-흥미를 가지게 할 방법은?

[남산]

  고3 교실에 수학시간에 "절반은 '쿨~ 쿨~', 나머지 절반은 '지 하고싶은대로 하기', 1/4이하의 학생들이 겨우 들을까 말까?" 이것은 학교에서 꺼리는 공공연한 비밀이다. 학교에서나 학원에서나 왜 수학을 공부해야하는지 흥미를 일깨워주는 교사나 강사는 찾아보기 힘들다. 짧은 시간에 다른 곳으로 이동해야하는 학습지교사는 한명도 학생들에게 수학에 흥미를 일깨워주지 못한다.

  '공식만 외우면 쉬워!, 그냥 외워!'라고 말하고 원리를 이해시키려고만 한다. 그 원리라는 것이 현실에 바탕을 둔 중요하고 가치있는 것을 설명하고 발전시키기 위한 것이라는 것은 알려주지 않는다. 흥미[재미]와 쉽고 어려움은 상당한 상관관계가 있다. 흥미가 있는 것은 잘 해결되지 않는 것들을 극복하려는 의지가 작용한다. 그렇지 못한 것은 어렵다고 느낄수록 쳐다보기도 싫어지게 된다. 수학이 어려운 이유는 흥미를 가지게 하지 못했기 때문일 가능성이 제일 높아 보인다. 젊은 학생들의 미래에 수학이 어떤 영역으로 펼쳐질 수 있는지 알게 한다면, 수학에 대한 흥미는 더욱 고양될 것이다. 물론 전체 학생들이 수학을 잘한다면 좋겠지만, 적어도 '고3 교실의 수포자'현상은 극복될 것이다.

  수학은 그냥 저절로 생긴 학문의 영역이 아닐 것이다. 아래에 기술된 내용을 통해 수학이 참으로 이로운 학문이 되고 흥미를 가지면 산업적, 경제적 가치를 훌륭히 창출해 낼 수도 있다는 점이 수학 교사나 강사들의 입을 통해 전파되기를 희망한다.

자연을 닮은 수, 피보나치 수열

1. 1.피보나치 수열이 뭔가요?
2. 2.자연에도 피보나치 수열은 존재한다
3. 3.음악도 피보나치 수열을 따른다
   1. 3.1피보나치 수열은 황금비와 어떤 관계가 있나요?

피보나치 수열은 자연을 닮았다고 합니다. 자연을 닮은 수가 있다니 신기하군요. 피보나치 수열이 무엇인가요? 그리고 어떻게 자연을 닮았는가요?

피보나치 수열이 뭔가요?

이탈리아의 수학자 피보나치(1170~1250)는1202년 토끼의 번식과 관련된 재미있는 문제를 소개했습니다.

“갓 태어난 토끼 한 쌍은 2개월 후부터 매달 한 쌍의 새끼 토끼를 낳습니다. 새로 태어난 토끼도 마찬가지입니다. 암수 토끼 한 쌍이 죽지 않고 계속 번식한다고 하면, 1년 뒤에는 모두 몇 쌍의 토끼가 있을까요?”

이 문제를 표로 정리하면 다음과 같습니다.

월	태어난 쌍	전체 쌍
지금	0	1
1개월 후	0	1
2개월 후	1	2
3개월 후	1	3
4개월 후	2	5
5개월 후	3	8
6개월 후	5	13
7개월 후	8	21
···

매달 전체 토끼 암수 쌍의 수를 수열로 나타내면 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ··· 과 같이 되는데, 이것이 바로 피보나치 수열입니다. 물론 12개월 후에는 233쌍이 됩니다.

자연에도 피보나치 수열은 존재한다

자연에는 흥미로운 수가 많습니다. 그냥 평범해 보이는 식물에도 놀라운 수학이 숨어 있을 때가 있지요. 솔방울과 해바라기가 한 예입니다. 솔방울을 뒤에서 자세히 보면, 시계 방향과 반시계 방향으로 나선이 나 있습니다. 이 나선의 개수를 세어 보면 8과 13입니다. 무엇이 신기하냐고요? 그럼 해바라기 씨를 한 번 보기로 해요. 해바라기 씨에도 솔방울처럼 시계 방향과 반시계 방향으로 나선이 있습니다. 해바라기 씨는 좀 복잡하니 꼼꼼히 세어 보아야 합니다. 나선이 시계 방향으로 34개, 반시계 방향으로 55개가 있습니다.

솔방울

해바라기 씨

그렇다면 꽃잎은 어떨까요? 붓꽃은 3장, 채송화는 5장, 코스모스는 8장, 금잔화는 13장, 치커리는 21장, 질경이는 34장, ··· 의 꽃잎이 달려 있습니다.

• 1
• 2
• 3

• 1자란(꽃잎 3장)
• 2괭이밥(꽃잎 5장)
• 3코스모스(꽃잎 8장)

그렇다면 왜 식물의 열매나 꽃잎, 잎차례와 같은 것들은 피보나치 수열을 따르고 있는 것일까요? 그건 피보나치 수열이 자연을 닮았기 때문입니다. 식물은 다양한 형태로 씨앗을 보호하거나 번식을 하려 합니다. 그럴 때 가장 편리한 것이 바로 피보나치 수열의 수입니다. 해바라기의 씨앗도 가장 좁은 공간에 최대한 많은 양의 씨를 품으르면 피보나치 수열의 수가 되어야 한다는 것이지요.

음악도 피보나치 수열을 따른다

피아노에는 흰색과 검은색 건반이 있습니다. 검은 건반은 2개 또는 3개씩 놓여 있어요. 또 한 옥타브(도, 레, 미, 파, 솔, 라, 시, 도)에는 흰 건반이 8개, 검은 건반이 5개이고, 건반은 모두 13개입니다. 이 수들을 작은 수부터 차례로 늘어놓으면 2, 3, 5, 8, 13입니다.

2＋3＝5, 2＋5＝8, 5＋8＝13이므로 앞의 두 수를 더하면 그 다음 수가 되는 것을 알 수 있어요. 이러한 수의 배열을 피보나치 수열이라고 하는데, 피아노 건반에는 피보나치 수열이 숨어 있었네요.

벨라 바르톡(1881~1945)은 피보나치 수열을 음악에 충분히 활용한 작곡가입니다. 바르톡은 피보나치 수열에 따라 음악의 마디를 나누고 황금분할점에 클라이맥스를 두는 새로운 기법의 음악을 만들어 냈습니다. 수학과 음악을 절묘하게 조화시킨 것이지요.

피보나치 수열은 황금비와 어떤 관계가 있나요?

피보나치 수열은 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ···이다. 피보나치 수열을 이용하여 분수를 계속 만들어 가면 황금비()에 가까워진다.

가장 아름답고 균형 있게 느껴진다는 황금비! 피보나치 수열이 황금비를 이루고, 자연은 피보나치 수열을 닮았다. 이처럼 피보나치 수열이 자연과 닮은 것은 우연히 아니라 수학이 자연의 일부이기 때문은 아닐까?

자연의 구조 속에서 자주 발견되는 흥미로운 수열이 1202년 이탈리아의 수학자 피사의 레오나르드(Leonardo of Pisa, Fibonaci라고도 알려진)에 의해 발견되었다. 그는 태어나서 한 달 후에 새끼를 낳을 수 있는 토끼 한 쌍이 매달 새끼 한 쌍을 낳는다면 1년에 몇 마리가 되는지를 알아보는 문제에 도전했다. 레오나르도는 한 쌍이 한 달 후에 한 쌍의 토끼를 낳으면 토끼 쌍의 수는 (1, 1)이 되고 두 번째 달에는 두 쌍을 더 낳게 되어 토끼 쌍의 수는 (1, 1, 2)가 된다는 것을 알게 되었다.

이런 계산을 계속 해나가면 이전 수의 합이 다음 수가 되는 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 등으로 이루어진 수열을 얻을 수 있다. 이것이 피보나치 수열이다.

놀랍게도 피보나치 수열은 꽃잎의 배열, 솔방울의 구조(아래 그림 참조)와 같이 자연계에서 흔하게 발견된다. 그중에서도 8개의 열이 좌측으로 돌고 13개의 열이 우측으로 도는 구조로 되어 있는 파인애플은 살아 있는 피보나치의 기념비이다.

솔방울의 구조

피보나치 수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

이동: 둘러보기, 검색

피보나치 수를 이용한 사각형 채우기

피보나치 수는 수학에서 아래의 점화식으로 정의되는 수열이다.

피보나치 수는 0과 1로 시작하며, 다음 피보나치 수는 바로 앞의 두 피보나치 수의 합이 된다. n = 0, 1,...에 해당하는 피보나치 수는 (OEIS의 수열 A000045)

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

이다.

목차

 [숨기기] 

• 1 역사
• 2 피보나치 수의 성질
• 3 피보나치 수 구하기
• 4 항등식
• 5 같이 보기
• 6 바깥 고리

역사[편집]

피보나치 수가 처음 언급된 문헌은 기원전 5세기 인도의 수학자 핑갈라가 쓴 책이다. 한편 유럽에서 피보나치 수를 처음 연구한 것은 레오나르도 피보나치로 토끼 수의 증가에 대해서 이야기하면서 이 수에 대해 언급했다. n 번째 달의 토끼 수는

• 첫 달에는 새로 태어난 토끼 한 쌍만이 존재한다.
• 두 달 이상이 된 토끼는 번식 가능하다.
• 번식 가능한 토끼 한 쌍은 매달 새끼 한 쌍을 낳는다.
• 토끼는 죽지 않는다.

따라서 첫 달에는 새로 태어난 토끼 한 쌍이 있고, 두 번째 달에는 그대로 토끼 한 쌍, 세 번째 달부터는 이 토끼 한 쌍이 새끼를 낳게 되어 토끼가 2쌍이 되고, 네 번째 달에는 3쌍, 다섯 번째 달에는 5쌍이 된다. 이때 n번째 달에 a 쌍의 토끼가 있었고, 다음 n+1 번째 달에는 새로 태어난 토끼를 포함해 b 쌍이 있었다고 하자. 그러면 그다음 n+2 번째 달에는 a+b 쌍의 토끼가 있게 된다. 이는 n번째 달에 살아있던 토끼는 충분한 나이가 되어 새끼를 낳을 수 있지만, 바로 전달인 n+1번째에 막 태어난 토끼는 아직 새끼를 낳을수 없기 때문이다.

피보나치 수의 성질[편집]

피보나치 수의 생성함수는

로 정리된다. 이 식으로부터 n번째 피보나치 수는 간단히

로 정리된다. 이 식은 레온하르트 오일러가 1765년 처음 발표했으나 잊혔다가, 1848년 자크 비네에 의해 재발견되었다. 이 식을 비네의 식이라고 부른다. 황금비 값을 라 하면

라 적을 수도 있다.

피보나치 수의 정의를 음의 정수에 대해 확장할 수 있다. 음의 정수 -n에 대해

라 정의하면 이 값은 위의 점화식과 비네의 식을 모두 만족한다.

또한, 피보나치 수열은 서로 인접한 항끼리 서로 소이다. 이것은 귀납법으로 간단히 증명할 수 있다

피보나치 수 구하기[편집]

피보나치 수를 위의 황금비 값의 거듭제곱으로 구하는 것은 계산오차 때문에 좋지 않다. 피보나치 수를 컴퓨터 등에서 구할 때는 0번째와 1번째 값부터 차례대로 앞의 두 값을 더해서 얻는 것이 좋다.

큰 n 값에 대해서는 다음의 행렬 연산식을 이용해서 빨리 구할 수 있다.

피보나치 수를 구하는 실제 코드는 피보나치 수 프로그램을 참고하라.

항등식[편집]

• 
• 
• 
• 
• (카시니의 항등식)
• 

자연 속에 감추인 -황금비율 법칙(피보나치 법칙)


자연이 아름답게 보이는 이유는 무엇일까?


자연의 아름다움을 보면 우리의 마음이


편안해지고 안정되는 이유는 무엇일까?


그것은 자연은 어떤 규칙(피보나치수열)을


따르고 있고 그런 규칙적인 질서_규칙과 질서- 속에 조화와


아름다움의 상징인 황금비가 숨겨져 있기 때문이다.


꽃잎의 수에, 잎차례의 규칙 속에, 씨앗의 배열 모습 속에,


나무의 가지치기 형식 속에, 등각 나선구조를 하고 있는


여러 자연물 속에 피보나치수열을 따르는 질서와 아름다움의


황금비가 숨겨있는지 마음의 눈을 떠 찾아보자!


<피보나치수열과 황금비>


피보나치수열이란 12세기말 이탈리아의 수학자


레오나르도 피보나치가 처음 제안한 규칙적인 수의 배열을


말하는데 배열된 수를 살펴보면 인접한 두 수의 합이 다음에


나올 수가 된다는 수학적인 원리가 있다.


1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89......


피보나치 수열에서 뒤의 수를 앞의 수로 나누어 보면


재미있는 결과가 나오는데 그 수가 증가할수록 어느


일정 수치 즉 조화와 아름다움을 상징하는 비로 알려진


황금비 1.618이란 숫자에 접근한다는 것이다.


2/1=2 3/2=1.5 5/3=1.666 ....


피보나치수열이 단순한 수의 배열이라기 보다는


인간의 시각에 아름답고 조화속의 안정감을 느낄 수 있는


황금비의 비밀이 숨겨있다는 것은 대단한 자연의 신비가 아닐 수 없다.


<꽃잎의 수를 세어보자>


우리 주위에 피어있는 꽃잎의 수를 세어보면 나팔꽃 1장,


2장, 백합과 붓꽃은 3장, 벚꽃. 사과꽃. 채송화. 패랭이는 5장,


코스모스 8장, 금불초. 금잔화는 13개, 루드베키아 21장,


질경이와 데이지는 34장, 쑥부쟁이는 종류에 따라 55장과 89장으로


꽃잎 수가 피보나치수열인 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... 중 하나임을 알 수 있다.



꽃잎이 4장인 십자화과와 몇몇 예외적인 경우를 제외하고


대부분의 꽃잎의 수가 피보나치수열에 해당하는 수를 따른다.
<

잎차례를 관찰해 보자>
잎차례란 식물의 줄기에서 잎이 나와 배열하는 방식을 말하며


전체 식물의 90%가 피보나치수열을 따라 규칙적이고 질서 있게 잎이 난다.


잎차례는 기호로 t번 회전하는 동안 n개의 잎이 나오는 비율인 t/n으로 표시하는데


여기서 t와 n의 수는 피보나치수열(1 2 3 5 8 9 13 21...)을 따르는 수로 구성되어 진다.
벚꽃, 사과는 2/5, 포플러. 장미. 배. 버드나무는 3/8, 갯버들.


아몬드는 5/13 의 잎차례를 갖는다.


잎차례가 피보나치수열을 따름으로 잎들이 질서 있게


배열됨으로 잎이 바로 위의 잎에 가리지 않고


최대한 많은 햇빛을 받을 수 있게 된다.


또한 잎차례의 t와 n의 숫자가 커갈수록 t/n 이


조화와 아름다움의 상징인 황금비 0.618..에


근접함을 통해 모든 잎들이 최적의 상태로 햇빛을


고르게 받을 수 있는 잎차례는 황금비임을 알 수 있다.


<씨앗의 배열>

해바라기 꽃 머리 안에서 씨앗이 배열된 모습을


자세히 살펴보면 오른쪽과 왼쪽 두 개의 엇갈린 나선형


곡선을 따라 씨앗이 배열된 것을 알 수 있다.


각각의 나선 개수를 세어보면 나선의 개수가


피보나치수열을 따르고 있음을 확인 할 수 있다.


해바라기 - 오른쪽 나선 개수 : 55개

왼쪽 나선 개수 : 89개

데이지 - 오른쪽 나선 개수 : 34개

왼쪽 나선 개수 : 55개


솔방울 - 오른쪽 나선 개수 : 8개

왼쪽 나선 개수 :13개

꽃 머리 안의 씨앗이 피보나치수열을 따라 배열됨으로

식물은 최소공간에 최대한 많은 씨앗을

촘촘하게 배치할 수 있게 됨을 알 수 있다.


<나무의 가지치기>



나무는 성장하면서 원 둥치에서 가지들을 내게 된다.



이렇게 나무가 자라면서 처 나가는 가지의 숫자도



피보나치수열을 따라 늘어남을 관찰할 수 있다.



<등각나선구조 속의 피보나치수열>



피보나치수열을 이용하여 황금 직사각형들을


연속적으로 그린 후 반지름이 1, 2, 3, 5, 8인 호들을


연결하면 점점 커지는 하나의 아름다운 나선이 그려지는데


자연계의 앵무조개, 초식동물의 뿔 뿐만 아니라


태양계의 행성들의 배열과 은하계의 형태 등도 이 황금 등각나선 구조를 따른다.


<황금비(황금 분할)>



황금비란 인간에게 호감과 안정감 그리고 아름다움을 주는


가장 조화가 잡힌 비율로 자연계에서 쉽게 관찰되고


아름답고 균형 잡힌 인간의 신체 각 마디마디 구조에도 잘 나타나 있다.


신기하게도 황금비율을 응용해 만든 물건이나


건축물 등은 다른 비율을 사용해 만든 것에 비해 인간의 눈으로 볼 때


가장 편안함과 안정감을 준다.



역사적으로 고대 이집트의 불가사의한 피라미드는 황금비를


이용해 만들어져 가장 튼튼하고 안정된 건축물로 찬사를 받고 있으며,


고대 그리스에서 아름다움과 안정감, 균형을 모두 중시해 만든 걸작품인


파르테논 신전과 비너스상이 아름답고 안정감 있게 보이는 것도


황금비의 공식을 이용하여 제작되었기 때문이다.


과거 뿐 아니라 현대에도 황금비는 건축, 조각, 회화, 공예 등


조형예술분야에서 널리 사용되고 있으며 신용카드나 명함, 창문, 책 등


우리 생활 주변에서도 황금비를 이용해 만들어진 상품들을 많이 찾아볼 수 있다.



실험에 의하면 사람들에게 무작위로 여러 가지의 사각형 모형을 제시하고



그중에서 그들의 눈에 가장 안정적으로 느껴지거나



또는 눈에 제일 먼저 들어오는 사각형을 고르라면 문화권,



인종, 성별, 연령에 관계없이 대개의 사람들은 황금비율을 내재한 직사각형을 고른다.


또한 두 개의 막대기를 주고 십자가를 만들어 보라 하면

거의 모든 사람들은 황금분할의 점에 근사한 곳을 교차해 십자가를 만든다.



다양한 황금비 (황금분할) 도형



황금분할의 구도가 내재된 직사각형

컴퓨터 개론

피보나치 수열

이탈리아 수학자 피보나치(Fibonacci)가 발견한 피보나치 수열은 토끼 번식 이야기에서 출발한다.

어떤 남자가 벽으로 둘러싸인 장소에 한 쌍의 토끼들을 둔다. 만약 각 쌍이 두 번째 달부터 매달 토끼를 한 쌍씩 낳는다고 가정한다면 그 해에 얼마나 많은 쌍의 토끼가 생산되겠는가?

이 결과로서 생기는 수열은 다음과 같다.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ···

이 수열은 그 결실이 많다고 판명되었고, 수학과 과학의 많은 분야에서 적용되고 있다. 이 수열을 ‘피보나치 수열’이라 하고, 이 수열에서 나타나는 수들을 ‘피보나치 수’라고 한다.

피보나치 수열을 생성하는 기본 규칙은 처음 두 항은 1이고, 세 번째 항부터는 바로 앞의 두 항의 합이 된다는 것이다. 그래서 세 번째 항은 첫 번째 항 1과 두 번째 항 1을 더한 값인 2가 된다. 그리고 네 번째 항은 두 번째 항 1과 세 번째 항 2를 더한 값인 3이 된다.

피보나치 수열을 수학 공식으로 나타내면 다음과 같다.

f(n) = 1 (n＜=2 일 때)
f(n) = f(n-2)+f(n-1) (n＞2 일 때)

이를 C언어 함수로 표현하면 다음과 같은데, 6행에서 재귀 호출을 수행한다.

[네이버 지식백과] 피보나치 수열 (컴퓨터 개론, 2013. 3. 10., 한빛아카데미(주))

초등수학 개념사전

피보나치 수열

목차

1. 피보나치 수열을 처음 소개한 책은 피보나치가 쓴 <산반서>라는 책이야. 그 내용을 살펴보자.
2. 꽃들에 숨어 있는 피보나치 수열
3. 해바라기 씨앗에 숨어 있는 피보나치 수열
4. 앵무조개 껍질에 숨어 있는 피보나치 수열

피보나치 수열이란 앞의 두 수의 합이 바로 뒤의 수가 되는 수의 배열을 말해. 이 수열을 처음 소개한 사람의 이름을 따서 피보나치 수열이라고 해. 피보나치의 수열은 자연 속의 꽃잎의 수나 해바라기 씨앗의 개수와 일치하고, 앵무조개에서도 찾아볼 수 있어.

레오나르도 피보나치(1170~1250)
레오나르도 피보나치(1170~1250)는 이탈리아의 수학자로 이집트, 시리아, 그리스, 시칠리아 등의 나라를 여행하며 아라비아에서 발전된 수학을 두루 섭렵했어. 그리고 이를 유럽인들에게 소개하여 유럽 여러 나라의 수학을 발전시키는 데 영향을 끼쳤어. 특히 아라비아 숫자를 유럽에 보급시켜 유명해.

피보나치 수열을 처음 소개한 책은 피보나치가 쓴 <산반서>라는 책이야. 그 내용을 살펴보자.

어떤 농부가 갓 태어난 토끼 한 쌍을 가지고 있었어. 이 한 쌍의 토끼는 두 달 후부터 매달 암수 한 쌍의 새끼를 낳으며, 새로 태어난 토끼도 태어난 지 두 달 후부터는 매달 한 쌍씩 암수 새끼를 낳는다고 해. 1년이 지나면 모두 몇 쌍의 토끼가 있을까? 첫 달에 태어난 토끼 한 쌍이 1개월 후에 어른 토끼가 되고, 2개월 후에 토끼 한 쌍을 낳게 돼. 이후 어른 토끼는 매달 토끼를 한 쌍씩 낳게 되고, 새끼 토끼는 한 달 후에 어른 토끼가 되고, 두 달 후부터 토끼 한 쌍씩 낳게 되지. 이렇게 매달 토끼의 쌍을 세어 보면 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …이 돼. 이 수의 배열은 앞의 두 수의 합이 바로 뒤의 수가 되는거야. 이렇게 나열되는 수의 배열을 피보나치 수열이라고 해.

꽃들에 숨어 있는 피보나치 수열

꽃 속에도 피보나치 수열이 숨어 있어. 우리 주변에 피어 있는 꽃들의 꽃잎 수를 세어 보면 거의 모든 꽃잎이 3장, 5장, 8장, 13장으로 되어 있어. 이 외에도 과꽃과 치커리는 21장, 질경이와 데이지는 34장, 쑥부쟁이는 종류에 따라 55장 또는 89장이야. 각 꽃잎의 수를 나열해 보면 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …로 피보나치 수열과 일치함을 알 수 있어. 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … 꽃들이 피보나치의 수만큼의 꽃잎을 갖는 이유가 궁금하지? 이는 꽃이 활짝 피기 전까지 꽃잎이 봉오리를 이루어 꽃 안의 암술과 수술을 보호하는 역할을 하기 위해 꽃잎들이 이리저리 겹쳐져야 해. 이때, 꽃잎의 수가 3, 5, 8, 13, …일 때, 꽃잎을 겹치기가 가장 효율적이래.

해바라기 씨앗에 숨어 있는 피보나치 수열

해바라기 씨가 박힌 모양을 보면, 시계 방향과 시계 반대 방향의 나선을 발견할 수 있어. 이 나선의 수는 해바라기의 크기에 따라 다르지만 한쪽 방향으로 21열이면 반대 방향으로 34열, 또는 34열과 55열 같이 항상 이웃하는 피보나치 수열의 두 수가 되지. 해바라기가 이렇게 나선형 배열을 하는 것은 좁은 공간에 많은 씨를 촘촘하게 배열하여 비바람에도 잘 견디기 위함이야. 식물들도 어려움을 이겨 내기 위한 노력을 하고 있음을 알 수 있지!

앵무조개 껍질에 숨어 있는 피보나치 수열

식물 이외에 앵무조개 껍질의 무늬에도 피보나치 수열이 있고, 달팽이 껍질과 여러 바다 생물의 껍질에서도 피보나치 수열을 발견할 수 있어.

[네이버 지식백과] 피보나치 수열 (초등수학 개념사전, 2010. 3. 25., (주)북이십일 아울북)

수학백과

피보나치 수열

[ Fibonacci Sequence ]

수학백과

피보나치 수열

[ Fibonacci Sequence ]

분야	대수학

피보나치 수열이란 처음 두 항을   과   로 한 후, 그 다음 항부터는 바로 앞의 두 개의 항을 더해 만드는 수열을 말한다. 그러므로 피보나치 수열의 처음 몇 개의 항은

 

이다. 이 수열에 속한 숫자들을 피보나치 수라고 한다.

목차

1. 1.기호
2. 2.피보나치
3. 3.피보나치 수열
4. 4.임의의   번째 피보나치 수의 형태
5. 5.피보나치 수열의 여러 가지 수학적 성질
6. 6.같이 읽기
7. 7.참고 문헌

기호

피보나치 수열

 

에서 첫 번째 피보나치 수를     , 두 번째 피보나치 수를     이라고 하자. 그러면

       

이며

       

인 것처럼, 임의의   번째 피보나치 수는

       

가 된다.

만일     을 정의한다면, 위의 관계식과 마찬가지로         , 즉     이 되어야 하므로     이 된다. 따라서 수열의 초깃값을 종종     과     로 정의하기도 한다.

피보나치

이탈리아의 상인이며 수학자인 피보나치(Fibonacci ; 1170 ~ 1250)는 중세 유럽의 대수학자이다. 1170년 이탈리아 피사(Pisa)의 상업 중심지에서 태어나 '피사의 레오나르도(Leonardo)'라고 불리었다. 흔히 알려진 Fibonacci라는 이름은 '보나치의 아들'이란 뜻인 'filius Bonacci'를 줄인 말이라고 한다. 당시 이탈리아의 큰 상인들은 지중해 연안 여러 곳에 상점을 두고 있었는데 그는 아버지를 따라 이집트, 시칠리아, 그리스, 시리아 등을 여행하면서 동부와 아라비아의 수학을 접하였다.

인도-아라비아의 계산술이 무척 실용적이며 우수하다는 것을 알고 자신의 고향 이탈리아로 돌아온 피보나치는 1202년에 유명한 저서 『산반서(Liber abaci)』를 출간하였다. 이 저작은 산술과 초등대수에 관하여 쓴 것으로 독립적인 연구이긴 하지만 알-콰리즈미(Al-Khwarizmi)와 아부-카밀(Abu-Kamil)의 대수로부터 많은 영향을 받았다. 이 책은 인도-아라비아 숫자를 유럽으로 소개하는 중요한 역할을 했다. 그뿐만 아니라 이 책은 새로운 숫자를 읽고 쓰는 법, 정수와 분수의 계산법, 제곱근과 세제곱근을 구하는 법, 대수적 과정 그리고 이차방정식의 해법 등을 설명하고 있다. 이 책에는 많은 문제가 실려 있어서 그 이후의 저술가들에게 수학 문제의 보고(寶庫)가 되었으며, 이 책의 영향으로 인도-아라비아의 수 체계가 급속히 보급되었다. ¹⁾

[200px|프레임없음|없음]

피보나치 수열

오늘날 흔히 일컬어지는 피보나치 수열은 『산반서(Liber Abaci)』에서 다루어진 수열로서 『산반서』의 저자인 피보나치의 이름을 따서 부른다.

그러나 이 수열은 피보나치가 책을 쓰기 훨씬 이전에 인도 지역에서 이미 알려져 있었다. 기원전 450년 경의 인도 수학자 핑갈라(Pingala)의 책에 수록되어 있다고 하는데, 명시화된 기록으로는 핑갈라의 책을 기반으로 한 비라한카(Virahanka, 700년 경)의 저서에 있다. 불행히도 이 책은 소실되었지만 고팔라(Gopala, 1135년 경)가 자신의 저서에서 다시금 비라한카를 인용함으로써 기록으로 남아 있다. ²⁾

인도에서 시작된 연구가 1202년에 피보나치가 쓴 저서 『산반서』에 나오는 이야기로 서구 유럽에 잘 알려졌다. 그 책에서 피보나치는 갓 태어난 토끼 한 쌍의 번식 문제로 이 수열을 설명했다.

‘들판에 갓 태어난 암수 한 쌍의 토끼가 있다. 토끼들은 한 달이 지나면 성숙하여 두 달의 끝 부분에서 암컷이 암수 한 쌍의 토끼를 낳는다. 토끼들은 절대로 죽지 않고, 암컷은 암수 한 쌍의 새끼를 둘째 달부터 계속해서 낳는다고 하면,   년 후에는 얼마나 많은 토끼가 들판에 있을까’를 질문했다.

① 한 달 후에 짝을 짓지만 여전히 한 쌍만 있다.

② 두 달 후에 암컷은 한 쌍의 새끼를 낳아, 모두 두 쌍의 토끼가 된다.

③ 세 달 후에 원래 암컷은 두 번째 한 쌍의 새끼를 낳으므로 모두 합쳐서 세 쌍이 된다.

④ 넉 달 후에 원래 암컷은 또 다른 한 쌍의 새끼를 낳았으며 두 달 전에 태어난 암컷이 역시 첫 번째 새끼를 낳으므로   쌍이 된다.

그러면 매달 토끼 쌍의 수는

 

가 된다. 물론 이 문제는 현실적으로는 일어날 수 없는 상황을 말하고 있다. 토끼는 절대로 죽지 않는다는 것과 각 세대가 정확히 암수 한 마리씩 두 마리라는 것, 또한 남매의 짝짓기가 만드는 유전학적 문제가 그것이다. 그러나 현실적으로는 불가능하지만 이것은 수학적 단순화 작업이다.

아래는 토끼가 다달이 어떻게 번식하는지 더 세분해서 나타낸 월별 토끼 집단의 가계도와 월별 토끼 집단의 수에 대한 표이다. 여기에서 나열된 수들, 즉

 

이 피보나치 수들이다.

[370px|프레임없음|없음]

피보나치 수열

달	성인 토끼(쌍)	어린 토끼(쌍)	전체 쌍의 수	달	성인 토끼(쌍)	어린 토끼(쌍)	전체 쌍의 수
월				월
월				월
월				월
월				월
월				월
월				월

임의의   번째 피보나치 수의 형태

바로 앞의 두 수의 합으로 만들어지는 피보나치 수열은

 

로 되며, 당연히   다음 수는   이며, 또한   다음 수는   이다.

이와 같이 앞의 두 수가 있으면 그 다음에 나오는 피보나치 수를 쉽게 만들 수 있지만, 이런 방법대로라면 예를 들어   번째 피보나치 수를 만들려면   번째와   번째의 피보나치 수를 먼저 찾아야 한다.

오늘날   번째 피보나치 수를 표현하는 방법으로 잘 알려진 것이 프랑스 수학자 비네(Jacques Philippe Marie Binet)의 공식이다.

비네 정리.   차 다항식     의 두 근을   와   라고 하자 (  ). 그러면   번째 피보나치 수     은

        

이다.

비네 공식이라고 하는 이 식은, 사실은 드무아브르(de Moivre, A.)가 이미 알고 있었던 식이다. 이 식은 행렬이나 생성함수를 사용하여 발견할 수 있다. 그러나 관계식을 발견하는 것이 쉽지 않을 수는 있지만, 관계식을 증명하는 것은 수학적 귀납법으로 쉽게 할 수 있다.

이렇게 생각해 보자.

우선   와   가     의 근이므로 근과 계수와의 관계에 의해   이며   이다.

또한     이므로     이다. 마찬가지로     이다.

수학적 귀납법으로          이 성립함을 보이자.

만일   이면          이다.

  이면

         

이다. 이제 수학적 귀납법을 사용하기 위해   인 모든   에 대하여          이 성립한다고 가정하자.

그러면

                                                        

이다.

실제로     의 두 근은       와       이므로      가 되어

                        

으로 표현된다.

피보나치 수열의 여러 가지 수학적 성질

모든 자연수   에 대해 다음이 성립한다.

(1)       이다.

(2)     은     을 나눈다.

(3) 만약   이면           이다.

(4)         이다.

(5)               이다.

(6)            이다. (카시니(Cassini) 항등식)

(7)            

(8)             

(9)           

(10)          

(11)              

피보나치 수열에 관해 수많은 관계식들이 알려져 있다.¹⁾

같이 읽기

황금비율, 피보나치 수열의 응용

참고 문헌

알프레드 S. 포사멘티어, 잉그마 레만, 헤르트 A. 하우프트만, Fibonacci Numbers. 김준열 옮김(2011). 피보나치 넘버스, 늘봄.

주석 레이어창 닫기

Susantha Goonatilake, 1998, 'Toward A Global Science', 『Mining Civilizational Knowledge』, Indiana University Press, Bloomington, Indiana, USA pp.126.

주석 레이어창 닫기

알프레드 S. 포사멘티어, 잉그마 레만, 헤르트 A. 하우프트만, Fibonacci Numbers. 김준열 옮김(2011). 피보나치 넘버스, 늘봄.

주석 레이어창 닫기

1. 알프레드 S. 포사멘티어, 잉그마 레만, 헤르트 A. 하우프트만, Fibonacci Numbers. 김준열 옮김(2011). 피보나치 넘버스, 늘봄.
2. Susantha Goonatilake, 1998, 'Toward A Global Science', 『Mining Civilizational Knowledge』, Indiana University Press, Bloomington, Indiana, USA pp.126.

[네이버 지식백과] 피보나치 수열 [Fibonacci Sequence] (수학백과, 2015.5, 대한수학회)

피보나치수열과 황금비

자연계에는 불규칙하며 무질서하게 보이지만 매우 정밀한 수학적 원리가 존재합니다. 이러한 우주의 섭리에 따라 자연계는 그 질서를 유지하며 존재하고 있는 것입니다.

자연계에 존재하는 수학적 원리 중에 피보나치수열이 있습니다.

즉 인접한 두 수의 합이 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55....... 가 되는 수열입니다. 이 수열은 단순해 보이지만 자연계의 일반 법칙을 나타내는 것으로 보이기 때문에 매우 중요합니다. 

피보나치수열은 황금 분할의 비로 잘 알려진 수로써 자연계에서 많은 생물의 구조가 이를 따르는 것으로 밝혀져 있습니다.
예를 들어 솔방울을 살펴보면  오른쪽 나선과 왼쪽 나선을 이루며 교차하고 있는데 그 나선의 수는 각각 8개와 5개로 피보나치수열에서 서로 이웃하는 항입니다. 이 밖에도 식물 중에는 꽃잎의 배열,  꽃 머리의 씨앗 배치에도 존재합니다.

최소 공간에 최대의 씨앗을 촘촘하게 배치하는 "최적의 수학적 해법"으로 꽃은 피보나치수열을 선택한 것으로 보입니다.

피보나치수열이 가장 잘 나타나는 것은 식물의 잎차례입니다. 잎차례는 줄기에서 잎이 나와 배열하는 방식으로 참나무, 벚꽃, 사과는 2/5이고, 또 포플러, 장미, 배, 버드나무는 3/8, 갯버들과 아몬드는 5/13의 비율로서 모두 피보나치수열입니다.

전체 식물의 약 90%가 피보나치수열의 잎차례를 따르고 있다고 합니다. 이렇게 되면 모든 잎은 최소의 그늘 아래에서 햇빛에 최적의 상태에 놓이게 됩니다.

비가 직접적으로 잎에 닿을 수 있으며 줄기를 통해 뿌리로 내려가게 됩니다. 또한 식물을 위에서 내려다보면 위쪽에서 자라는 잎이 아래쪽의 잎을 가리지 않게 배열됨을 알 수 있습니다.  이것은 더 많은 햇빛을 받고 줄기를 통해 뿌리로 내려가는 동안 많은 빗물을 얻기 위해서입니다. 이처럼 식물의 잎이나 꽃씨의 배열은 모두 황금비를 기초로 하고 있습니다.

자연계에 나타나는 수학적 원리 중 대표적인 것들은 황금비, 황금 각, 황금 직사각형, 피보나치수열, 대수 나선, 프랙털 등이 있습니다.

앵무조개와 달팽이의 구조도 황금분할의 비를 잘 보여 줍니다.
대수 나선을 따라 성장하는 귓바퀴, 앵무조개의 그래프를 통해 보면 8번째 사각형을 붙이면 두 변 사이의 비율이 거의 일정하여 황금비로 유지됨을 알 수 있습니다.

황금분할이란 보통 1:1.618 정도의 비율을 뜻하는데 흔히 5:8 비율이라고도 합니다. 고대부터 의식적 또는 무의식적으로 많은 미술 작품에 이 비율이 지켜져 왔으며 사람이 시각적으로 가장 안정감을 느끼는 비율이 바로 5:8이라고 합니다. 사람의 인체와 얼굴도 역시 황금 비율과 관계해서 생성됨을 알 수 있습니다.

황금비는 피라미드, 파르테논신전이나 다빈치, 미켈란젤로의 작품에서 시작해 오늘날에는 신용카드를 비롯해 실생활의 많은 제품에서 광범위하게 쓰입니다.

  

피보나치수열과 황금비로 보는 자연의 신비로운 이야기

피보나치수열

꽃과 꽃잎 그리고 식물의 잎차례와 가지를 관찰해보면 피보나치수열을 찾아볼 수 있으며 전체 식물의 약 90%가 피보나치수열의 잎차례를 따르고 있다. 이 수열은 식물뿐만 아니라 고둥이나 소라, 사람의 귓바퀴 등의 나선구조에도 나타난다.

이 수열은 12세기 말 이탈리아의 천재 수학자 레오나르도 피보나치가 제안했으며 피보나치수열이란 인접한 두 수의 합이 그다음 수가 되는 수열이다. 즉 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...... 가 되는 수열이다.

이렇게 단순한 수열이 중요해진 것은 이 수열이 자연계의 일반 법칙을 나타내는 것으로 보이기 때문이다.

주변의 꽃잎을 세어보면 거의 모든 꽃잎이 3장, 5장, 8장, 13장.......으로 되어 있다. 백합과 붓꽃의 꽃잎은 3장, 채송화, 패랭이, 동백, 야생 장미는 5장, 모란, 코스모스는 8장, 금불초와 금잔화는 13장이다. 애스터와 치커리는 21장, 질경이와 데이지는 34장, 쑥부쟁이는 종류에 따라 55장과 89장이다.

 

솔방울을 살펴보면 비늘 같은 조각이 오른쪽 나선과 왼쪽 나선을 이루며 교차하고 있는데 그 나선의 수는 각각 8개와 5개로 되어 있다. 

씨앗은 꽃 머리에서 왼쪽과 오른쪽으로 엇갈리게 나선 모양으로 자리를 잡는다. 데이지 꽃 머리에는 34개와 55개의 나선이 있고, 해바라기 꽃 머리에는 55개와 89개의 나선이 있다.

  

이처럼 최소 공간에 최대의 씨앗을 촘촘하게 배치하는 "최적의 수학적 해법"으로 꽃은 피보나치수열을 선택한다. 

피보나치수열이 가장 잘 나타나는 것은 식물의 잎차례이다. 잎차례는 줄기에서 잎이 나와 배열하는 방식이다. 이를 통해 모든 잎이 최소의 그늘 아래에서 햇빛에 최적의 상태에 놓이게 되며 비가 직접적으로 잎에 닿을 수 있고 줄기를 통해 뿌리로 내려가게 된다.

황금비

피보나치수열은 운명적으로 "신의 비율"인 황금비를 만들어낸다. 황금비는 피라미드, 파르테논 신전 그리고 미켈란젤로, 다빈치의 작품에서부터 오늘날까지 실생활의 도구에 널리 사용되고 있다.

또한, 태풍과 은하수의 형태, 바다의 파도에도 있으며 인체의 비율도 황금 비다. "황금비(Golden Ration)"라는 명칭은 그리스의 수학자 에우독스에 의해 붙여졌고 황금비를 나타내는 파이(ф:1.618)도 이 비율을 조각에 이용했던 피디아스의 그리스 머리글자에서 따왔다.

피보나치수열에서 5를 A라 하고 8을 B라 했을 때 5:8은 0.6에 가깝고 반대로 8을 5로 나누면 1.6이 된다. 이것을 등식으로 나타내면 A:B=B(A+B)가 되며 이것이 바로 황금비의 등식이며 일반적으로 0.618 또는 1.618을 의미한다.

[출처] 피보나치수열과 황금비로 보는 자연의 신비로운 이야기|작성자 사랑전사 이춘우

피보나치수열을 응용한 Icon 디자인 작업

드디어 마지막 시간이 되었네요.
2탄 내용을 정리하면서 함께 작업해서 그런지 빠른 업로드를 할 수 있게되었습니다.^^

이 번에는 지금까지 정립한 개념을 바탕으로 피보나치 수열을 응용한 Icon 작업을 해 보았습니다.
요즘 장마철이라 그런지 왠지 날씨 아이콘이 그리고 싶어져 하기와 같이 피보나치 수열이 응용된 5개의 아이콘을 제작 해 보았답니다.

이 아이콘은 그 동안 스터디를 진행하면서 제 나름의 응용 방법 과 룰 설정방법, 작업 순서..등을 확립하게 되어서 그런지 제작에 그리 오랜 시간이 들지는 않았습니다.

이제부터 제가 확립한 순서를 토대로 어떻게 제작하였는지 공유하겠습니다. (앞으로 얘기될 방법은 저만의 해석 방식이지 정답은 아니랍니다.^^)

작업 순서는 크게 4단계로 잡아보았습니다.

1. 전체 디자인 컨셉에 맞도록 아이디어 스케치를 진행한다.(아이콘)

[1단계] 스케치 단계입니다.

우선은 피보나치 수열을 염두 해 두지 않은 상태에서 디자인 컨셉에 맞도록 아이콘의 형태와 디자인을 스케치합니다.

2. 확정된 아이콘의 전체 사이즈(고정값)를 정한다.

[2단계] 컴퓨터 작업 전 아이콘 사이즈 확정 단계입니다.
제작하고자 하는 아이콘의 전체(외곽) 사이즈를 정하는 단계로 아이콘의 제작 갯수와는 관계없이 모두 동일하게 적용되는 고정값입니다.
저는 이번 날씨 아이콘에 105×105 로 정하였습니다.

3. 사이즈를 기준(최대값)으로 피보나치수열에 맞도록 숫자를 나열한다.

[3단계] 피보나치 수열의 값을 구하는 단계입니다.

① 최대값을 기준으로 1:0.618 비율을 먼저 구합니다.
예시) 105 최대값을 자동계산 시 105 : 65 가 됩니다.
② 65 을 정사각형으로 나누며 계속 분할 시켜줍니다.
③ 이후 나오는 값을 기준으로 계속해서 정사각형으로 분할 해주면 마지막 최소값을 확인 할 수 있습니다.

* 소수점 반올림 및 버림으로 최대값 과 최소값의 비율이 맞지 않는 경우가 있습니다.
이럴 때는 최소값이 정수로 떨어질 수 있도록 최대값을 다시 맞춰줍니다.

4. 추출된 피보나치 수열 값으로 아이콘에 배치한다. (*제작 초기 단계에 룰을 정하면 좋습니다.)

(아이콘_비)

(아이콘_눈)

[Rule]
1. 선의 두께는 5px 로 진행한다.
2. 상,좌,우 여백은 5px 로 하며 경우에 따라 꽉 차게 작업한다.
3. 구름이 들어 갈 경우 좌표값은 그대로 유지하며, 경우에 따라 위치, 사이즈가 변경되어야 할 경우 구름 형태는 유지한 채 작업한다.
4. 아이콘 특성 상 5px 이하의 사이즈가 필요 할 경우 3px 로 적용한다.

위와 같은 방법으로 만들어 보았습니다.
이 제작 방법과 룰은 작업자가 설정하기 나름이라는 것을 알아주세요.^^

현대차 105층 타워 디자인의 비밀, 피보나치수열·피라미드

현대차 'GBC' 계획안 공개… 정사각형 수직타워인, BMW 벤츠 사옥도 벤치마킹

전 세계에 세워진 100층 이상 초고층 타워들은 바람 하중(바람과 물체가 부딪혔을 때 바람에 의해 물체에 작용하는 힘)을 줄이기 위해 고층부로 갈수록 층별 면적이 축소되는 형태다. GBC 통합사옥 건물은 층별 면적 차이가 크지 않은 형태를 취한다는 점에서 이례적이다. 업무시설로서 최적화된 내부공간을 확보하고, 효율적인 시공을 가능하게 한다는 점에서도 경쟁력을 지니게 된다.

정사각형 수직타워의 건물 형태를 지지하기 위해 특별한 구조시스템이 적용된다. 통합사옥 건물 외벽 안쪽에 설치되는 피보나치 수열의 형태를 재해석한 비대칭의 X-브레이스(건물의 변형방지를 위해 대각선으로 잇는 건축부재)가 그것. X-브레이스는 바람하중에 의한 건물 움직임을 효과적으로 제어하는 기능과 함께 건물 전체의 독창성을 강조하는 역할을 한다.

현대자동차그룹 관계자는 "자연계의 가장 안정된 상태인 ‘황금분할의 비’로 알려진 피보나치 수열을 응용한 디자인이 통합사옥 건물에 적용됨으로써 ‘자연으로부터 영감을 얻어 (Inspired by nature) 완벽함으로 진화한다(Evolved Perfection)’는 기본 구상이 완성됐고, 안정감과 미적 효과도 극대화됐다"고 설명했다.

통합사옥 건물 최상층부는 피라미드 형상을 본 떠 유리창이 건물 안쪽으로 기울어져 상부 꼭지점에서 모이는 형태로 디자인됐다. 바람을 자연스럽게 흐르게 해 건물에 생기는 바람하중을 줄여주는 역할을 한다.

현대자동차그룹 GBC 통합사옥 최상층부 전망대. 피라미드의 형상을 재해석했다. /제공=현대자동차그룹

특히 투명하게 처리된 기울어진 유리창은 전망대를 찾는 서울 시민과 GBC 방문객들에게 다채로운 경관을 선사하게 된다.

태양광 발전소의 거울배치 모양

가장 넓은 면적으로 태양빛을 반사하기위한 아이디어.

태양열 발전의 희망들 2 - 스페인의 PS 10

 

 태양열 발전에 있어서 발전에 유리한 넓은 사막은 물론 우수한 기술력과 자본력을 갖춘 미국이 유리한 건 분명한 사실이다. 그러나 그렇다고 이 영역이 미국의 독무대라고 생각하면 큰 오산이다. 오히려 태양열 발전에 있어 유럽국가들이 최근 두각을 나타내고 있는 것이 사실이다.

 특히 유럽에서도 덥고 건조한 기후를 가진 스페인은 태양열 발전의 천혜의 조건을 갖춘 국가라고 할 수 있다. 이중에서도 스페인 남부의 도시 세비야 (Seville) 는 유럽 태양열 발전의 핵심도시로 떠오르고 있는데, 오늘 이야기할 유럽 최초의 상업용 태양열 발전소인 PS 10 이 여기에 건설되었기 때문이다.

 (스페인 남부 세비야의 solar tower 형 태양열 발전소 PS 10)

 앞서 포스트에서 태양열 발전 방식 몇가지를 소개했는데 이런 방식들은 태양열을 한곳에 집중해서 사용하기 때문에 Concentrating Solar Power (CSP) 방식으로 불린다. 크게 파라볼릭 트로프 (Parabolic trough), 파라볼릭 디시 (Parabolic Dish), 솔라 타워 (Solar power tower) 형식등이 있다고 소개했었다. 이를 한점에 집중하느냐, 혹은 한 라인에 집중하는냐에 따라 또 나누기도 한다.

 지금 이야기할 PS 10 (Planta Solar 10) 은 point concentrator 방식의 CSP 식 발전이 된다. 그런데 복잡한 분류는 소개글에서 적당하지 않을 것 같아 간단히 넘어가고 이 발전소에 대해서 구체적으로 설명을 해보고자 한다.

 PS 10 은 여러개의 커다란 거울을 각각 조절해서 한개의 촛점에 맞추는 방식의 태양열 발전소이다. (이 거울을 Heliostat (일광 반사 장치) 라고 부른다) 이런 방식은 이미 오래전 연구되어 왔으며 과거 미국에서 개발한 캘리포니아 솔라원 (California solar one) 이 그 원조격이라 할 수 있다. 현재는 이 후계기인 솔라투가 활약 중이다.

 (California Solar Two 의 모습. 여러개의 heliostats 들이 태양광을 탑 꼭대기의 리시버에 전달한다)

 일반적으로 유럽하면 태양열 발전에 적합한 사막 지형이 없기 때문에 최근까지도 솔라 타워 형식의 발전소는 없었다. 그러다 90년대 후반부터 몇개의 회사들이 컨소시엄을 구성 비교적 고온 건조 기후인 스페인에 솔라 타워를 건설하고자 했다. 그 결과 스페인 남부의 세비야가 후보지로 결정되었다. (정확한 위치는 세비야 서쪽 15km Sanlúcar la Mayor 이다)

 참고로 태양열 발전에 적합한 기후는 사실 생각보다 많지 않다. 사막 지대가 가장 유리하고 반건조 기후대나 열대나 아열대 기후가 적합하기 때문이다.

 (이 solar belt 는 태양열 발전소 건설에 가장 적합한 지역이 편중되어 있음을 보여준다)

 PS 10 은 약 120 m2 의 반사 거울 (Heliostat) 이 모두 624개가 존재한다. (대략 총면적은 75000 m2) 이 거울들은 컴퓨터로 조절 되어 115 높이의 솔라 타워의 리시버에 태양광선을 반사해서 집중시킨다. 여기서 가열된 수증기는 터빈을 돌려 발전을 하게 되는 것이다.

 (반사 거울 - Heliostats)

(Heliostats 들이 타워를 중심으로 배치되어 있다)

 (솔라 타워 - 상부의 네모 구조가 태양에너지를 받는 리시버다)

 (발전 모식도 - 리시버에서 가열된 물은 250도 40기압으로 가열되 일부는 터빈을 돌리고 나머지는 저장 탱크에 저장된다)

 이 발전소에서 한가지 주목할 점은 바로 모든 수증기가 바로 터빈을 돌리는 것이 아니라 하늘이 흐려지거나 밤이 될때를 대비해서 수증기를 저장하는 탱크를 따로 가지고 있다는 점이다. 앞서 포스트에서 언급했지만 태양열 발전의 장점은 열에너지를 저장할 수 있다는 점이다. 이 저장된 에너지를 사용하므로써 태양에너지를 이용 못할 때도 전기를 생산할 수 있다. 그러나 현재까지는 저장 기술이 발달하지 못해 저장 가능한 시간은 짧다고 한다. 50%의 load 를 줄때 약 50분 버틴다고 한다. 아직까진 많은 개선이 필요한 상태다.

 (수증기 저장 탱크)

 이 유럽 최초의 태양열 발전소인 PS 10은 2007년에 완공되었다. 평균 11MW 의 전기를 생산하며 인근 세비야의 6000가구가 쓸 전기를 공급한다. 총 건설 비용은 3천5백만 유로였다. 스페인에서 이 발전소로 인해 매년 18000톤의 이산화 탄소 발생이 억제된다고 한다. 사실 이 정도는 크게 의미 있는 양은 아니지만 첫술부터 배가 부를 순 없는 것이다.

  PS 10 은 상업용 시험 발전소에 불과하다. 이미 PS 10 의 두배인 1200 개의 Heliostats 를 가진 PS 20 이 건설 중이다. 발전 용량도 두배인 20MW 이다.

 (PS 10 옆에 건설 중인 PS 20)

 현재 스페인 정부는 새로운 발전소를 지어 태양열 발전 용량을 300MW로 증가 시켜 20만 가구에 전기를 공급하는 방법을 고려 중에 있다. 이것이 가능하다면 세비야 시 전체가 태양 에너지로 움직일 수 있다. 여기에 필요한 예산은 대략 12억 유로로 생각되고 있다. 이 계획이 만약 진행된다면 스페인은 한동안 세계 최대의 태양열 발전 국가가 될 것이다.

 아직까지 야간 발전등의 문제를 완전히 해결하진 못했지만 이러한 시도들은 고무적이다. 다만 비용적인 문제를 감안할 때 비용 효과적이라고는 하기 어려운 게 사실이긴 하다. 분명 태양열 발전의 발전 비용은 기존 방식보다 더 드는게 현실이다. 

 그래서 현재 진행중인 경제 위기가 이러한 대체 에너지 개발에 악영향을 미치지 않을까 하는 우려도 있다. 그러나 우리의 미래 세대를 위해서 향후 이런 시도들이 경제 문제로 뒷전으로 밀리지 않고 꾸준히 진행되었으면 하는 것이 필자의 바램이다.

??

환경보호와 신재생에너지에 대한 관심이 커지면서, 전 세계 각지에서 경쟁적으로 대형 태양열 발전소들을 준공하고 있습니다. 때문에 '세계 최대'의 태양열 발전소라는 명칭의 대상은 계속해서 바뀌고 있습니다. 하지만 2014년 2월 현재를 기준으로 한다면 미국의 이반파 태양열 발전 시스템(Ivanpah Solar Electric Generating System)이 단연코 '세계 최대의 태양열 발전소' 일 것입니다.

2014년 2월 13일 준공, 정식으로 오픈한 이반파 태양열 발전소는 라스베가스 남서쪽으로 약 64km 떨어진 캘리포니아 주와 네바다 주 경계의 모하비 사막(Mojave Desert) 위에 건설된 태양열 발전소 입니다. 여의도 면적보다 더 큰 3500 에이커 (약 14.2 ㎢) 의 면적위에 총 173,500 개의 헬리오스타트 (Heliostat : 태양에너지를 반사시키는 장치) 가 설치되어 있으며, 각 헬리오스타트는 2개의 거울(높이 2.1m, 너비 3m)을 가지고 있습니다. 약 35만개의 거울이 한 자리에 모여있는 셈이죠. 이처럼 많은 헬리오스타트는 모두 컴퓨터로 컨트롤 되어 3 개의 솔라타워(높이 140m)에 태양에너지를 집중시키게 역할을 합니다. 그리고 각 솔라타워가 헬리오스타트에서 반사된 태양열로 터빈을 돌려 전기를 생산하는 것이지요.

[그린테크] 낮에는 태양광, 밤에는 디젤·천연가스 … 세계 첫 ‘하이브리드 태양열 발전소’

 

세계 최초의 ‘하이브리드 태양열 발전소’가 이스라엘에 들어섰다. 이스라엘의 에너지회사 아오라(AORA)는 지난달 24일 남부 이스라엘 엘리아트 지역의 네게브 사막에 있는 40여 가구에 전기를 공급할 수 있는 100kW급 하이브리드 태양열 발전소(사진)를 준공했다.

하이브리드 태양열 발전소는 낮에는 태양열로 발전을 하고 밤이나 태양열이 부족할 때는 바이오디젤이나 천연가스를 연료로 사용하는 방식이다. 하루 24시간 발전을 할 수 있어 안정적이고 지속적인 전력공급이 가능하다.

아오라사는 이 하이브리드 태양열 발전소에 세계에서 처음으로 ‘가스터빈’ 발전방식을 적용했다. 기존의 태양열 발전은 태양열을 모아 물을 끓이고 여기서 나오는 증기를 이용해 터빈을 돌리는 방식이어서 대규모 설비가 필요하다.

그러나 가스터빈 방식은 태양열로 공기를 뜨겁게 팽창, 압축시킨 다음 이 공기의 힘으로 터빈을 돌려 전기를 생산한다. 아오라사는 “가스터빈 방식은 중소규모의 태양열 발전에 적합하며 공정과정이 줄어 경제성과 효율성이 높다”고 말했다.

하이브리드 태양열 발전소는 30개의 태양 추적식 대형 거울로 빛을 모아 30m 높이의 꽃봉오리 모양의 솔라타워로 쏘는 ‘집중식(CSP·Concentrating Solar Power)’을 택하고 있다. 이렇게 모은 태양열의 온도는 섭씨 1000도에 이른다. 이 열로 공기를 팽창시켜 가스터빈을 돌리는 것이다. 이 방식을 이용하면 축구장 정도 크기에 발전소 5~6개를 건설할 수 있을 정도로 공간 활용도가 높다.

아오라 관계자는 “통상 100kW급 이하의 소규모 솔라 발전소는 태양광 방식을 이용하지만 하이브리드 태양열 발전 방식을 이용하면 발전 효율이 28%에 달해 15%인 태양광 발전보다 효율이 훨씬 더 높다”고 말했다. 건설 비용도 kW당 3000~5000달러로 최대 50만 달러(약 6억3000만원)면 발전소 1기를 지을 수 있다.